Urodziła się 2 maja 1958 r. w Opatówku w rodzinie Czesława i Teresy z Gadzinowskich Jaśkiewiczów. Rodzina jej matki została szczególnie doświadczona okrucieństwami wojny i to na pewno zaważyło na jej działalności w dorosłym życiu.
Po ukończeniu studiów wyjechała w 1981 r. do Anglii. Wkrótce ogłoszono w Polsce stan wojenny i Aneta pozostała w Londynie. Pracowała jako montażystka filmowa w brytyjskiej telewizji, ale jej pasją było filmowanie. Rejestrowała rodzinne uroczystości i wrażenia z licznych podróży po świecie, dokumentowała wydarzenia i filmowała świadectwa historii. Zawsze bliskie były jej sprawy Polski i Polaków, pokazywanie prawdy historycznej, która w powojennej Polsce była wypaczana, a w świecie przedstawiana w fałszywym świetle.
Jako montażystka uczestniczyła przy realizacji amerykańskiego serialu dokumentalnego „History Raider’s” (2001) o II wojnie światowej. Przygotowała bogate materiały filmowe o Monte Cassino i o Katyniu. Przeprowadzała wywiady z kombatantami, z byłym prezydentem R.P. na uchodźstwie - Ryszardem Kaczorowskim, z Andrzejem Przewoźnikem i innymi ważnymi postaciami. W Indiach podróżowała śladami niezwykłych Polaków – inżyniera Maurycego Frydmana i Wandy Dynowskiej (Sri Umadevi), bliskiej współpracowniczki Ghandiego i Dalajlamy. Byli to Polacy zasłużeni dla wymiany kulturalnej między Indiami i Polską w okresie międzywojennym. Angażowali się także w sprawy Tybetu. W czasie wojny Wanda Dynowska pomagała Sybirakom, którzy znaleźli się w Indiach. By poznać bliżej dzieje tych niezwykłych ludzi, którzy zachowali się w sercu i pamięci wielu Hindusów, Tybetańczyków i Polaków spotkała się z Dalajlamą i innymi osobami, które znały oboje Polaków, między innymi z wychowankami Wandy Dynowskiej.
Zainteresowanie dziejami Polski i wybitnych Polaków zbliżyły ją do Jagny Wright, która zamierzała zapisać na taśmie filmowej mało znane w świecie tragiczne losy miliona siedmiuset tysięcy Polaków deportowanych w głąb Rosji po stalinowskiej inwazji na Polskę. Dzięki wielkiemu zaangażowaniu obu kobiet, własnym środkom i własnej pracy, powstał film o losach polskich zesłańców na „nieludzkiej ziemi” pt. „A forgotten Odyssey” („Zapomniana Odyseja”). Do jego realizacji autorki korzystały z zasobów archiwalnych oraz wspomnień żyjących jeszcze zesłańców i ich rodzin. Współpracowały także z wybitnymi historykami, między innymi Normanem Daviesem. Pierwsza projekcja tego filmu odbyła się Imperial War Museum w Londynie pod patronatem Polskiego Instytutu Kultury i Ambasady Polskiej w Londynie. Podczas projekcji obecny był ambasador Polski w Wielkiej Brytanii – Stanisław Komorowski, a także prof. Norman Davies, który przedstawił całość zagadnienia w kontekście ówczesnej sytuacji politycznej. Film poruszył widzów na Zachodzie, odkrył przed nimi nieznaną kartę w historii II wojny światowej, dotarł do różnych odbiorców na całym świecie. Pokazano go w brytyjskim History Channel i w stacjach telewizyjnych USA, Kanady, Japonii, Polski, Danii i innych krajów. Wzbudził duże zainteresowanie i liczne dyskusje. Pisała o nim prasa polonijna w Wielkiej Brytanii, USA i Kanadzie. Londyńska prasa, w tym „The Times", pisała o ich pracy z zachwytem. Film miał bardzo dobre recenzje. Sprawa Polski i jej tragicznej historii stała się bliższa wielu ludziom na świecie. W wywiadzie dla Gazety Montereal z marca 2002 r. Aneta powiedziała:
Znamiennym faktem jest to, iż opiniami o filmie dzielą się z nami nie tylko widzowie starsi, ale także ludzie w średnim wieku i młodzież. Okazuje się bowiem, że ból, który nosi w sobie pokolenie sybiraków, przeszedł na drugie i trzecie pokolenie. Młoda generacja przychodzi do nas po filmie i dziękuje nam, że oni w jakiś sposób czują, iż ten film pomoże im zrozumieć najbliższych, historię Polski, odnaleźć własną tożsamość.Ten film pomaga im pogodzić się z tym, co stało się ich rodzinom. Czują się dumni z faktu, że są Polakami.
Dzięki filmowi i zainteresowaniu, jakie wzbudził powstał portal internetowy Kresy-Syberia, a w rezultacie wirtualne muzeum poświęcone „nieludzkiej ziemi”.
Kolejnym wielkim przedsięwzięciem Anety Naszyńskiej i Jagny Wright był trzyczęściowy film o 800 latach wspólnych dziejów polsko-żydowskich pt. "Druga prawda" W filmie wypowiadają się ludzie od lat zaangażowani w dialog polsko-żydowski, tacy jak: prof. Władysław Bartoszewski, Jan Nowak-Jeziorański i Marek Edelman. Film powstawał z potrzeby mówienia prawdy, gdyż ten temat jest ciągle przedstawiany w fałszywym świetle. W „Dzienniku Polskim” wydawanym w Londynie ukazał się 19 czerwca 2005 artykuł pt. Potrzeba nam prawd, którego autor zauważa:
Autorki zdają się mówić wszystkim tym, którzy głoszą propagandę antypolską, powtarzając bzdury o polskich obozach zagłady i chłopach polskich wydających masowo Żydów w ręce gestapo: nam nie potrzeba filopolskości, propolskości. Jedynym czego potrzebujemy jest prawda.
Skrócona wersja tego filmu została zakupiona przez IPN i dołączona do „Biuletynu IPN”.
Po śmierci Jagny Wright w 2007 r. Aneta Naszyńska samodzielnie kontynuowała swoją pracę. Zamierzała przeprowadzić wywiady z żyjącymi jeszcze polskimi lotnikami, którzy w czasie wojny walczyli w dywizjonach RAF. Planowała zrobić film dokumentalny o udanej polskiej wyprawie w Himalaje i pierwsze wejście na Nanda Devi latem 1939 r. Ostatnio zafascynowała ją postać Ignacego Domeyki – Polaka, który został bohaterem narodowym Chile. W tym celu dwukrotnie wyjeżdżała do Chile. W czasie drugiego pobytu w tym kraju ciężko zachorowała i 4 czerwca 2010 r. zmarła w szpitalu w Antafagaście. 16 lipca 2010 r. została pochowana w Londynie.
Śmierć Anety Naszyńskiej była dla wszystkim wielkim zaskoczeniem. W „Biuletynie IPN” nr 7-8 z 2010 r. ukazał się artykuł o Anecie, którego autor Janusz Guttner tak napisał:
Śmierć Anety, osoby tak pełnej pasji i radości życia, była czymś niespodziewanym. Odeszła w momencie, gdy otwierał się przed nią nowy, pełen nadziei rozdział w jej życiu.
Wielu opatowian pamięta Anetę, ale chyba niewielu wiedziało o jej wielkiej pasji, którą przysłużyła się dla zachowania narodowej pamięci i dla utrwalenia dobrego imienia Polski na świecie.